Öncelikle bu iki eğrinin kesiştikleri noktayı bulalım.
[tex]y = \sqrt{x} = \frac{1}{2} (x - 6)^2[/tex]
[tex](\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{2} (x - 6)^2)^2[/tex]
[tex]x = \frac{1}{4} (x - 6)^4[/tex]
[tex]4x = (x - 6) ^ 4[/tex]
[tex]4x = (x - 6)^2(x-6)^2[/tex]
[tex]4x = (x^2 - 12x + 36)(x^2 -12x + 36)[/tex]
[tex]4x = (x^4 -12x^3 +36x^2 -12x^3 +144x^2 -432x +36x^2 -432x + 1296)[/tex]
[tex]4x = (x^4 -24x^3 + 216x^2 -864x + 1296)[/tex]
[tex]4x - (x^4 - 24x^3 + 216x^2 - 864x + 1296) = 0[/tex]
[tex](4 - x)(x^3 - 20x^2 +136x - 324) = 0[/tex]
[tex](4 - x) = 0[/tex]
[tex]x = 4[/tex]
Şimdi de bu eğrilerin x ekseni ile kesişme durumlarına bakalım.
[tex]y = \sqrt{x}[/tex] eğrisi orijinden başlayarak sürekli olarak artar. Dolayısıyla x ekseni ile kesişmez.
[tex]y = \frac{1}{2} (x - 6)^2[/tex] eğrisinde y değeri 0 iken x değeri 6 olarak bulunur. Yani x ekseni ile (6, 0) noktasında kesişir.
Buna göre, bizden istenen alanı bulmak için [tex]y = \sqrt{x}[/tex] eğrisinin [tex]0 \leq x \leq 4[/tex] aralığındaki integralini ve [tex]y = \frac{1}{2} (x - 6)^2[/tex] eğrisinin de [tex]4\leq x\leq 6[/tex] aralığındaki integralini hesaplamalıyız.
[tex]\int\limits^4_0{\sqrt{x} } \, dx = \frac{2}{3} (4\sqrt{4} - 0\sqrt{0} ) = \frac{16}{3}[/tex]
[tex]\int\limits^6_4 {\frac{1}{2} (x - 6)^2} \, dx = \frac{1}{6} (0^3 - (4 - 6)^3) = \frac{4}{3}[/tex]
[tex]Alan = \frac{16}{3} + \frac{4}{3} = \frac{20}{3}[/tex]
